ประพจน์บ่งว่ามีจริงและประพจน์สากล

ในงานเริ่มต้นในคริสต์ทศวรรษ 1930 ดร.ป็อปเปอร์เน้นการพิสูจน์ว่าเท็จได้ว่า เป็นกฎเกณฑ์ที่จำกัดประพจน์เชิงประสบการณ์ (empirical statemente) ในวิทยาศาสตร์เขาเห็นประพจน์สองอย่าง[11] ที่มีประโยชน์ต่อนักวิทยาศาสตร์อย่างแรกเป็นแบบสังเกตการณ์ เช่น "มีหงส์ขาวอยู่ตัวหนึ่ง"นักตรรกศาสตร์เรียกประพจน์พวกนี้ว่า ประพจน์บ่งว่ามีจริงตัวหนึ่ง (singular existential statement) เพราะว่ายืนยันถึงความมีอยู่ของอะไรบางอย่างซึ่งเทียบเท่ากับประพจน์แคลคูลัสภาคแสดง (predicate calculus) ในรูปแบบ "มี ก อันหนึ่งโดยที่ ก เป็นหงส์ตัวหนึ่ง และ ก มีสีขาว"

อย่างที่สองเป็นประพจน์ที่รวบยอดอะไรอย่างหนึ่งทั้งหมด เช่น "หงส์ทั้งหมดมีสีขาว"นักตรรกศาสตร์เรียกประพจน์เหล่านี้ว่า ประพจน์สากล ซึ่งมักจะอยู่ในรูปแบบ "สำหรับ ก ทุกตัว ถ้า ก เป็นหงส์ตัวหนึ่ง ก ก็จะมีสีขาว"กฎวิทยาศาสตร์ปกติควรจะอยู่ในรูปแบบนี้ปัญหาสำคัญของระเบียบวิธีทางวิทยาศาสตร์ก็คือบุคคลจะระบุกฎจากสังเกตการณ์ต่าง ๆ ได้อย่างไร คือ บุคคลจะอนุมานประพจน์สากล จากประพจน์ที่บ่งว่ามีจริงไม่ว่าจะมีจำนวนเท่าไร ได้อย่างไร

วิธีการให้เหตุผลโดยอุปนัย สมมุติว่า บุคคลสามารถเปลี่ยนประพจน์ที่บ่งว่ามีจริงจำนวนหนึ่ง ไปเป็นประพจน์สากลนั่นก็คือ บุคคลสามารเปลี่ยนจาก "นี่ก็หงส์ขาว" "นั่นก็หงส์ขาว" เป็นต้น ไปเป็นประพจน์สากลเช่น "หงส์ทั้งหมดมีสีขาว"วิธีการนี้ชัดเจนว่า ไม่สมเหตุสมผลโดยนิรนัยเพราะว่ามันเป็นไปได้เสมอว่า อาจจะมีหงส์สีอื่นที่ยังไม่พบในสังเกตการณ์ (และจริงอย่างนั้น การค้นพบหงส์ดำในประเทศออสเตรเลียแสดงถึงความไม่สมเหตุสมผลทางนิรนัยของประพจน์สากลนี้)

การอนุมานแบบเด็ดขาดโดยอุปนัย

ดร.ป็อปเปอร์ถือว่า วิทยาศาสตร์ไม่สามารถตั้งอยู่ในมูลฐานด้วยการอนุมานเช่นนี้เขาจึงเสนอว่า การพิสูจน์ว่าเป็นเท็จได้ เป็นการแก้ปัญหาการอุปนัยโดยให้ข้อสังเกตว่า แม้ว่า ประพจน์บ่งว่ามีจริงตัวหนึ่งเช่น "มีหงส์ขาวตัวหนึ่ง" จะไม่สามารถใช้ยืนยันประพจน์สากลแต่ก็สามารถใช้แสดงว่า ประพจน์สากลไม่เป็นจริง คือ ประพจน์บ่งว่ามีหงส์ดำตัวหนึ่ง สามารถแสดงว่าประพจน์สากล "หงส์ทั้งหมดมีสีขาว" ว่าไม่จริง ในตรรกศาสตร์ รูปแบบการพิสูจน์เช่นนี้เรียกว่า modus tollensคือ "มีหงส์ดำตัวหนึ่ง" ให้นัยว่า "มีหงส์ที่ไม่ใช่สีขาว" ซึ่งก็ให้นัยว่า "มีอะไรอย่างหนึ่งที่เป็นหงส์ และไม่ใช่สีขาว" ซึ่งพิสูจน์ "หงส์ทั้งหมดมีสีขาว" ว่าเท็จ เพราะนั่นเท่ากับประพจน์ว่า "มีอะไรอย่างอื่นที่เป็นหงส์ และไม่ใช่สีขาว"

ดังนั้น ถ้าบุคคลเห็นหงส์ขาวตัวหนึ่ง ก็อาจจะสรุปได้ว่า

หงส์อย่างน้อยหนึ่งตัวมีสีขาว

และจากนั่น อาจจะคาดการณ์ว่า

หงส์ทั้งหมดมีสีขาว

เพราะว่า มันเป็นไปไม่ได้ที่จะสังเกตการณ์หงส์ทุกตัวในโลกเพื่อพิสูจน์ว่าทั้งหมดมีสีขาวจริง

ถึงกระนั้น ประพจน์ว่า "หงส์ทั้งหมดมีสีขาว" สามารถ "ตรวจสอบได้" เพราะว่าพิสูจน์ว่าเป็นเท็จได้คือ ถ้าในการตรวจสอบหงส์เป็นจำนวนมาก นักวิจัยพบหงส์ดำตัวหนึ่ง ประพจน์ว่า "หงส์ขาวทั้งหมดมีสีขาว" ก็พิสูจน์ว่าเท็จโดยให้ตัวอย่างหงส์ดำตัวหนึ่งเป็นข้อคัดค้าน

การพิสูจน์ว่าเป็นเท็จโดยนิรนัย

การพิสูจน์ว่าเป็นเท็จโดยนิรนัย ต่างจากการไม่มีการพิสูจน์ว่าเป็นจริงการพิสูจน์ประพจน์ว่าเป็นเท็จ ทำโดยใช้รูปแบบทางตรรกะที่เรียกว่า modus tollens ผ่านการสังเกตการณ์ เช่น ลองสมมุติว่าประพจน์สากล U ห้ามการสังเกตการณ์ว่ามี O คือ

U → ¬ O {\displaystyle U\rightarrow \neg O}

แต่ว่า เกิดการสังเกตการณ์ว่ามี O

    O {\displaystyle \ \ O}

ดังนั้นโดยหลัก modus tollens

¬ U {\displaystyle \neg U}

แม้ว่าตรรกะของการพิสูจน์ว่าเท็จแบบสามัญจะสมเหตุสมผล แต่ก็จำกัดมากคือ ประพจน์เกือบทุกอย่างสามารถทำให้เข้ากับข้อมูล ตราบเท่าที่บุคคลยินดีที่จะแก้ต่างคือเพื่อจะพิสูจน์ประพจน์สากลว่าเป็นเท็จตามตรรกะ ก็จะต้องหาประพจน์บ่งว่ามีจริงตัวหนึ่ง ที่เป็นตัวพิสูจน์ว่าเท็จได้จริง ๆดร.ป็อปเปอร์ชี้ว่า เป็นไปได้เสมอที่จะเปลี่ยนประพจน์สากลหรือประพจน์บ่งว่าจริง จนกระทั่งการพิสูจน์ว่าเท็จไม่เกิดขึ้นเช่น เมื่อได้ยินว่ามีการพบหงส์ดำในประเทศออสเตรเลีย บุคคลอาจจะสร้างสมมติฐานเฉพาะกิจ (ad hoc hypothesis) ว่า "หงส์ทั้งหมดมีสีขาวยกเว้นที่พบในออสเตรเลีย" หรืออาจจะดูถูกคนสังเกตการณ์บางคนว่า "นักปักษีวิทยาในออสเตรเลียไม่ค่อยเก่ง"

ดังนั้น แม้ว่าการพิสูจน์ว่าเท็จแบบสามัญ ควรจะเป็นวิธีลบล้างคำอธิบายที่ไม่ตรงกับความจริงในข้อถกเถียงต่าง ๆ ได้ (เช่นทฤษฎีสมคบคิด หรือตำนานพื้นบ้าน)แต่คนที่สนับสนุนทฤษฎีที่ไม่จริง อาจอ้างว่า "ไม่เห็นมีอะไร" หรือ "ปกติ" หรือ "ความแตกต่างหรือสิ่งที่พบน้อยเกินกว่าที่จัดว่ามีนัยสำคัญทางสถิติ"แต่คนอีกฝ่ายหนึ่งจะยอมรับว่า มีสังเกตการณ์ที่พิสูจน์ประพจน์สากลว่าเป็นเท็จเกิดขึ้นแล้วดังนั้น การพิสูจน์ว่าเท็จแบบสามัญ ไม่ได้ทำให้นักวิทยาศาสตร์ที่ยืนหยัดอยู่ในกฎเกณฑ์ที่เป็นกลาง ๆ สามารถพิสูจน์ประพจน์สากลทุกอย่างว่าเป็นเท็จแบบตัดสินชี้ขาดโดยที่ทุกคนยอมรับได้